数学笔记19——数值积分

嘿是数值积分

  数值积分是计量定积分数值的措施与辩解。在数学分析中,给定函数的定积分的精打细算不连续实惠之。许多定积分不可知就此早已领略的积分公式得到精确值。数值积分是使黎曼积分等数学概念,用数值逼近的办法近似计算给定的定积分值。借助被电子计算设备,数值积分可以迅速而卓有成效地计算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的计成立以牛顿-莱布尼兹公式之上。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分的可积函数的积分无法用新当函数表示,甚至束手无策产生分析表达式。例如常见的正态分布函数:

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的原函数就无法用新当函数表示。

  不仅如此,在过剩其实行使中,只能解积分函数在某些特定点的取值,比如天测量中的气温、湿度、气压等,医学测量中的血压、浓度等等。另外,积分函数出或是有微分方程的排。由于广大微分方程只能数值求解,因此只好解函数在少数点及的取值。这时是力不从心用要原函数的办法计算函数的积分的。

  另外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,牛顿-莱布尼兹公式不再适用,只能使还常见的格林公式要斯托克斯公式,以转账为比逊色维数上之积分,但不得不用来少数动静。因此,只能采用数值积分计算函数的临似值。

数值积分的大面积公式

矩形公式

  就是广阔的黎曼与,在切割小矩形时,可摘下左矩形或右手矩形。

  左矩形公式:

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  右矩形公式:

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  左右矩形公式的区分如下图所示:

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左矩形公式

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右手矩形公式

梯形公式 

  以及矩形公式不同,梯形公式直接拿触及连,当Δx→∞时,这看起再也类似受跟实际面积:

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辛普森公式

  辛普森公式是再度尖端并且在实质上被精确度更胜的公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平均高度。高度是发生且重的,为了计算平均高度,试图用点用抛物线相连,每个抛物线连接三单相邻之接触:

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  这里直接吃有结果。上图从x0到x2的面积可计为:

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  总面积:

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数值积分的使

示例1

  计算y = 1/x在x = 1和 x =
2之间及x轴围成的面积:

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  下面是差计算办法的对比。

  实际面积:

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  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  这个例子中,辛普森公式远较梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森值| ≈ (Δx)4,如果Δx =
0.1,辛普森值将充分接近真实值。

示例2

  用梯形公式和辛普森公式估算
皇冠直营现金网开户 15,Δx=π/4

  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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